自然常数e,到底怎么来的?

欧拉公式被称为真正的宇宙第一公式,

欧拉公式的推导,是将三角函数复指数函数巧妙地关联了起来。其中,e?为自然常数,i?为虚数,x则是以弧度为单位的参数(变量)。


自然常数e 是一个奇妙的数字,它是一个数学中的无理常数,约等于2.718281828459。

大家是否想过,为啥一个无理数却被人们称之为“自然常数”?

要了解e 的由来,一个最直观的方法是引入一个经济学名称“复利(Compound Interest)”。

复利率法,是一种计算利息的方法。只要计算利息的周期越密,财富增长越快,而随着年期越长,复利效应亦会越为明显。

在引入“复利模型”之前,先试着看看更基本的 “指数增长模型”。

假设你有1元钱存在银行里,此时发生了严重的通货膨胀,银行的利率飙到了100%(夸张一下,为了方便计算)。如果银行一年付一次利息,自然在一年后你可以拿到1元的本金(蓝色圆)和1元的利息(绿色圆),总共两元的余额。现在银行的年利率不变,每半年就付一次利息。那么到第六个月的时候,你就能够提前从银行拿到0.5元的利息了。机智的你会马上把这0.5元的利息再次存入银行,这0.5元的利息也将在下一结算周期产生利息(红色圆),专业术语叫“复利”,那么年底的存款余额将等于2.25元。大家可以换个角度这样看:即,每个结算(增长)周期为半年,每半年的利率是50%(或者说100%/2),一年结算两次利息,且第一次结算完后,立马将利息存入。此时大家的计算公式和结果如下:


年利率不变每四个月就付一次利息!而机智的你依然一拿到利息就立马存入,与半年结算一次利息类似:即,每个结算周期为四个月,每四个月的利率是33.33%(或者说100%/3),一年结算三次利息,且前两次结算完后,都立马将所有利息存入。


最后,发现年利率虽然没有变,但随着每年利息交付次数的增加,年底从银行拿到的钱居然也在增加。

那么是不是会一直增大到无穷大呢?

现在假设,银行在保证年利率为100%的前提下连续不断地付给存款人利息,存款人天天呆在银行不走,拿到利息就往银行里存。这样,所得利息即所谓“连续复利”。

于是大家进行一系列的迭代运算,大家将看到以下结果:


?假设本金为1块钱的前提下,只要在年利率保持100%不变的情况下,不断地提高利息的结算次数,余额就将会逼近e =2.718281845…

于是得出了高等数学微积分里计算e 的一个重要极限了:


说明了,就算银行的年利率是100%,再怎么求银行给你“复利”,年底也不可能得到超过本金e 倍的余额。

在自然界中,大多数事物都处在一种无意识的连续增长的状态中,对于一种连续增长的事物,如果它的单位时间的增长率为100%,那么经过一单位时间后,它将变成原来的e倍。

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